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Probabilità

Si vocifera che il tuo vicino sia molto fortunato, sebbene gli anziani lo definiscano un giocatore d’azzardo. Ha la fama di essere imbattibile a backgammon, a carte e a dadi. Ma lo vedi spesso in biblioteca a leggere libri in un angolo, con una calcolatrice a prendere appunti.

Decidi allora di chiedergli dove risieda la chiave del suo successo. Tutto sembra essere troppo semplice, ma non è così, perché hai scoperto che in questi giochi non è la persona che si assume maggiori rischi a vincere, ma chi calcola le probabilità che un evento si verifichi e reduce al minimo i rischi aumentando le possibilità di vittoria.

Probabilmente il modo migliore di spiegare il complesso concetto delle probabilità è quello di fornire degli esempi pratici.

Cominciamo con barbut, un gioco con i dadi che prevede un certo numero di punti per le diverse combinazioni. Nello specifico ho valutato che il rischio di due dadi vincenti, lanciandone uno per essere certi di avere anche un turno omaggio. Oppure nel caso in cui lanciamo un semplice dado, quante sono le probabilità che questo dia come risultato 1?

Immagina di lanciare un dado a 6 facce 

, ciascuna delle quali contiene un numero da 1 a 6, solo una di queste facce contiene il numero 1.

Possiamo stimare la probabilità che esca il numero 1 servendoci di una frazione. Dal momento che il risultato favorevole che ci interessa è solo 1, questo diverrà il nostro numeratore. I risultati possibili sono 6, quindi quello sarà il valore della nostra frazione. Di conseguenza, le probabilità che lanciando un dado possiamo ottenere il numero 1 è pari a 1/6 = 16,7%  . A chi non sa o ha dimenticato come trasformare una frazione in percentuale, ricordiamo che basta dividere il numeratore (numero al di sopra della linea di frazione) per il denominatore (numero al di sotto della linea di frazione) e moltiplicare il risultato per 100.

Per alcuni, potrebbe essere più semplice lavorare con le frazioni, ma sono le percentuali ad avermi impedito di tirare il dado, ma quando sono tornato a casa, mi sono ricordato delle regole di base per la semplificazione delle frazioni, mi ero persino dimenticato delle frazioni proprie e improprie (ti ricordi la differenza?). Mi sono concentrato sulle frazioni proprie perché parliamo di probabilità statistiche. Mi sono ricordata di un evento in cui mi sono imbattuta durante il compleanno di mia figlia nel corso del quale ho dovuto tagliare la torta in fette dello stesso spessore.

Se tagliamo la torta in 8 pezzi possiamo dire che 4/8 corrispondono a metà (1/2 ), quindi dovremo suddividere ogni metà in due 1/4 o 2/8 e, poi, in parti ancora più piccole pari a 1/8?

I pezzi erano delle giuste dimensioni, ma mi ero dimenticato che oltre agli ospiti c’era anche mia figlia e che avrebbero avuto bisogno di 9 pezzi.

A quel tempo, ho cercato di salvare la situazione adducendo come scuse diete e intolleranze alimentari, ma adesso ricordo di essermi seduto e di aver cercato di disegnare un diagramma su un pezzo di carta. Avevo bisogno di ottenere 9 parti. 9 è un numero divisibile per 3, quindi avrei dovuto tagliare la torta in tre parti 3/9, che semplificato dà 1/3, quindi suddividere ciascun pezzo in tre parti come mostra il disegno riportato di seguito:

Prova a suddividere la torta in 12 pezzi!

Così, ho continuato a incontrare il mio vicino per saperne di più sul calcolo delle probabilità.

Per cominciare potremmo partire utilizzando dei dadi atipici, magari un dado a sei facce  ma che presenta i seguenti numeri: 1, 1, 3, 3, 5, 5. Quante sono le possibilità di ottenere un 3?

In questo caso i risultati favorevoli possibili sono 2, quindi porremo 2 come numeratore. Le possibilità, invece, sono sempre 6. Quindi la nostra frazione è 2/6 , che semplificata diviene 1/3 = 33,3.

Backgammon !!!

L’altro gioco preferito dal mio vicino. Prevede due dadi e diverse combinazioni per muoversi all’interno dei due campi, ed è necessario ottenerne una per vincere. Qual è la percentuale di probabilità che la somma dei numeri sulle facce dei due dadi lanciati sia maggiore di 9?

Per iniziare costruiremo una tabella che ci consenta di visualizzare tutti i possibili risultati.

 

Dado 1
Dado 2 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9
6 7 8 9

 

Come vedi esistono 36 possibili combinazioni, 6 delle quali permettono di ottenere un numero maggiore di 9. Quindi abbiamo 6 probabilità favorevoli su 36:

6/36 = 1/6 = 16,7%

Conosciamo le percentuali, ma adesso avremmo bisogno di un po’ di fortuna.

Che cosa ho imparato da questi calcoli? Ho cominciato a calcolare la probabilità che un avversario ottenga delle combinazioni vincenti. Ho cambiato il mio modo di giocare e ho cominciato a vincere sempre più partite sulla panchina di fronte all’appartamento sotto l’occhio vigile del mio vicino. Non basta conoscere le regole del gioco, bisogna anche sfruttare delle altre conoscenze.

Poi abbiamo cominciato a discutere delle carte e delle probabilità.

Qual è la probabilità di estrarre un 10 di picche da un mazzo composto da 52 carte? 

Per prima cosa è importante sapere da quali carte è composto un mazzo.

52 carte (esclusi i Jolly) suddivise in quattro semi: quadri(rossi), picche(neri), cuori(rossi), e fiori (neri). Per ciascun seme abbiamo 13 carte: A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K (di cui 3 sono le figure: fante, regina e re (l’asso sta per il numero 1).

Se le carte sono 52 e solo una di esse è il 10 di picche, allora la possibilità di estrarne una dal mazzo è pari a 1/52 = 1.9%. Piuttosto scarsa, non è vero? Ricordo di aver visto delle partite a poker in TV e al tempo dedicato alla riflessione, ho scoperto che calcolano non solo le loro opportunità, ma anche quelle dei loro avversari, in base alle carte sul tavolo. I soldi del montepremi sono davvero meritati.

Quante sono, invece, le probabilità di estrarre una carta di picche? Le probabilità sarebbero 13/52 dal momento che ciascun mazzo contiene 13 carte di picche. Semplificando la frazione, otterremo 1/4 = 25%. Quindi, sono maggiori le possibilità di estrarre una carta di picche piuttosto che un 10 di picche.

Quante sono le probabilità di estrarre un asso da un mazzo di 52 carte? Se gli assi sono 4, allora le probabilità sono di 4/52 = 1/13 = 7,7% .

 

Come detto in precedenza, parliamo di possibili soluzioni e della possibilità che si verifichino degli eventi certi o impossibili.

Torniamo alle frazioni. Perché possiamo sono tenere conto delle frazioni proprie? Riflettiamo sui casi estremi. Ad esempio, nel caso del mazzo di carte senza jolly, quante sono le possibilità di estrarne uno? 0 per cui la frazione che otterremo è 0/52 = 0% .Quindi ogni evento impossibile ha una probabilità dello 0% di avvenire.

Ci sono degli eventi che non possono non verificarsi, ossia alcune cose sono certe. Quante sono le probabilità di estrarre una carta nera o rossa da un mazzo composto da 52 carte francesi? Be’ dal momento che tutte le carte sono o nere o rosse, 52. Quindi la probabilità che tale evento si verifichi è 52/52 = 1 = 100% .

Ma esistono milioni di combinazioni fra 0 e 1

Sei pronto ad andare al casino?

Quelle presentate in precedenza erano probabilità piuttosto semplici, ma a volte ci troviamo in situazioni un po’ più complesse in cui possono verificarsi degli eventi compatibili. Pensiamo, ad esempio, al lancio di due dadi la cui somma delle facce estratte sia 7, a prescindere dalle possibili combinazioni (6 e 1; 5 e 2; 3 e 4).

  • Tuttavia, esistono anche degli eventi incompatibili, ossia quando il verificarsi dell’uno esclude il verificarsi dell’altro.

Analizziamo questi scenari nel dettaglio:

Stiamo giocando a backgammon e abbiamo bisogno di ottenere un 7 dalla combinazione di 2 e 5.

Le variabili vincenti sono solo 2.

P = 2/36 = 1/18 = 5,5%

Probabilmente perderai la partita a meno che il tuo avversario non sbagli a sua volta.

Qual è la probabilità di estrarre dal mazzo una carta rossa e una figura (re, regina, fante)?

Dobbiamo quindi contare quante sono le carte rosse con una figura. Sono 6: Re di cuori, Regina di Cuori, Fante di cuori, Re di quadri. Regina di quadri e Fante di quadri.

P  = 6/52 = 3/26 = 11,5%

Pensiamo, ad esempio, al lancio di due dadi la cui somma delle facce estratte sia 7, a prescindere dalle possibili combinazioni (6 e 1; 5 e 2; 3 e 4).

Le combinazioni possibili sono 6 su 36.

6/36 = 1/6 = 16,7%

Abbiamo 3 volte più probabilità che l’evento si verifichi, si tratta di una questione di fortuna.

Quante sono le probabilità di estrarre una carta rossa o una figura?

In questo caso possiamo estrarre una carta rossa o una figura. Esistono 26 carte rosse (incluse le figure) e 6 figure nere. Il totale sarebbe di 26 + 6 = 32 carte.

32/52 = 8/13 = 61,5%

Fa’ attenzione a non aggiungere il numero di carte con figura (12) a quello delle carte rosse (26), perché conteresti due volte le figure rosse.

Vedi quanto sono diverse queste due probabilità! Una semplice parola può cambiare tutto!

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