1. Home
  2. Docs
  3. Στατιστικη – ή οδηγος του χαρτοπαικτη
  4. Περιεχομενο εκπαιδευσης
  5. Πιθανότητες σε παραδείγματα και η πρακτική χρήση τους

Πιθανότητες σε παραδείγματα και η πρακτική χρήση τους

Φημολογείται εδώ και πολύ καιρό για το γείτονά σας ότι είναι πολύ τυχερός, αν και το οι υπόλοιπο τον αποκαλούν χαρτοπαίκτη. Είναι ασυναγώνιστος στο τάβλι, στα χαρτιά και τα ζάρια. Εσείς, αν και προσωπικά τον βλέπετε συχνά στη βιβλιοθήκη να διαβάζει βιβλία, παρατηρήσατε ότι πάντα υπάρχει μια υπολογιστική δίπλα του και κάνει σημειώσεις.

Τον ρωτάτε, λοιπόν, ευθέως για το κλειδί της επιτυχίας του. Τα πάντα αποδείχτηκαν πολύ απλά, αλλά όχι αρκετά, επειδή αποδείχθηκε ότι σε αυτά τα παιχνίδια κερδίζει όχι μόνο ο παίκτης που ρισκάρει, αλλά πιο συχνά αυτός που υπολογίζει τις διάφορες πιθανότητες και έτσι ελαχιστοποιεί τον κίνδυνο για τον εαυτό του, και κατά συνέπεια, αυξάνει τις πιθανότητες νίκης.

Μάλλον ο ευκολότερος τρόπος να εξηγηθεί η σύνθετη έννοια των πιθανοτήτων είναι να δοθούν παραδείγματα – ρήξη κέρματος, ζάρια και τράβηγμα χαρτιού από τράπουλα.

Ας ξεκινήσουμε με το barbut, ένα παιχνίδι τριών ζαριών που έχει συγκεκριμένο αριθμό πόντων για διαφορετικούς συνδυασμούς ζαριών. Αλλά αξιολόγησα συγκεκριμένα τον κίνδυνο που σχετίζεται με την πιθανότητα δύο ζαριών που κερδίζουν, ρίχνοντας 1 για να είναι επιλέξιμο για ένα ρίξιμο bonus. Ή απλώς αν ρίξουμε ένα κανονικό ζάρι, ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε τον αριθμό 1;

Φανταστείτε ότι ρίχνετε ένα συνηθισμένο ζάρι με έξι μεριές, καθεμιά από τις οποίες έχει έναν αριθμό από το 1 ως το 6, και καθεμιά από τις οποίες είναι και μια πιθανότητα όταν ρίχνετε τη ζαριά. Μόνο μια από αυτές τις μεριές έχει ως αριθμό της το 1.

Η πιθανότητα να φέρετε 1 μπορεί να υπολογιστεί ως κλάσμα. Δεδομένου ότι υπάρχει μεγάλη πιθανότητα να φέρετε 1 και υπάρχει μόνο μία πλευρά με τον αριθμό 1, ο αριθμητής πιθανότητας είναι το 1. Υπάρχουν έξι πιθανά αποτελέσματα, οπότε ο παρονομαστής είναι το 6. Η πιθανότητα να φέρετε 1 είναι 1/6 = 16,7%. Ή το αντίθετο, υπάρχει πιθανότητα να χάσετε κατά 83,3%. Η τελική επιλογή είναι πάντα δική σας, αλλά μην κατηγορείτε τον γείτονα σας για τη νίκη. Για όσους από εσάς έχετε ξεχάσει πώς να μετατρέπετε τα κλάσματα σε ποσοστά, ο αριθμητής (ο αριθμός πάνω από το κλάσμα) διαιρείται με τον παρονομαστή (ο αριθμός κάτω από το κλάσμα) και το αποτέλεσμα πολλαπλασιάζεται με το 100.

Για μερικούς από εσάς μπορεί να είναι πιο εύκολο να εργαστείτε με κλάσματα, αλλά τα ποσοστά σίγουρα με απέτρεψαν από το να ρίχνω ζάρια. Όταν πήγα σπίτι, θυμήθηκα τους βασικούς κανόνες απλούστευσης των κλασμάτων και ξέχασα ότι υπήρχαν γνήσια και καταχρηστικά κλάσματα (θυμάστε τη διαφορά;). Επικεντρώθηκα στα γνήσια κλάσματα, διότι τώρα μιλάμε για στατιστικές πιθανότητες και δεν μπορούν να είναι περισσότερο από 1 ή 100% διαφορετικά. Και θυμήθηκα το αστείο περιστατικό που μου συνέβηκε στα γενέθλια της κόρης μου όταν έπρεπε να κόψω το κέικ σε πανομοιότυπα κομμάτια. ‘Έχω 8 επισκέπτες μου είπε την κόρη μου’. Πανεύκολο, σκέφτηκα:

Το κέικ κομμένο στη μέση – ½ ή 4/8, κάθε μισό να κοπεί στη μέση – ¼ ή 2/8, κάθε τέταρτο στη μέση 1/8.

Τα κομμάτια ήταν μια χαρά σε μέγεθος, αλλά εκτός από τους καλεσμένους, ήταν και η κόρη μου εκεί και ήθελε και εκείνη κομμάτι, επομένως χρειαζόμουν 9 κομμάτια.

Για να δικαιολογηθώ είπα μερικές δικαιολογίες σχετικά με δίαιτα και διατροφική δυσανεξία αλλά τώρα που θυμήθηκα το περιστατικό, προσπάθησα να σχεδιάσω ένα γράφημα σε ένα κομμάτι χαρτί. Χρειαζόμουν ένα κομμάτι του 1/9. Το 9 είναι ένας αριθμός διαιρούμενος με το 3 χωρίς υπόλοιπο. Δηλαδή, πρέπει πρώτα να κόψω το κέικ σε τρία ίσα μέρη (3/9), τα οποία μετά την απλούστευση είναι το 1/3, μετά το καθένα θα το κόψω σε άλλα τρία. Εδώ είναι ένα από τα ενδιάμεσα σχέδια μου, όταν σκέφτηκα για 6 κομμάτια:

Αν θέλετε, προσπαθήστε για 12 κομμάτια αλλά να θυμάστε ότι πρέπει να έχουν το ίδιο μέγεθος!!

Το μπάνιο ήταν έτοιμο, αλλά οι συναντήσεις μου με τον γείτονά μου συνέχισαν. Στο μεταξύ, καθώς βελτιωνόμουν, έψαχνα πιο περίπλοκα παραδείγματα. Αποδείχθηκε ότι εκτός από τη γνωστή πιθανότητα ότι η φέτα ψωμιού θα πέσει πάνω στο χαλί με το ‘λερωμένο’ μέρος κάτω, το οποίο μόνο στον νόμο του Murphy είναι πιθανό κατά ένα 100% και όχι 50%, υπάρχουν πολλά άλλα ενδιαφέροντα περιστατικά . Τα πιο συχνά παραδείγματα μεθόδων πιθανότητας έχουν να κάνουν με ζάρια και κάρτες.

Για αρχή ας ξεκινήσουμε με ασυνήθιστα ζάρια   , που έχουν έξι πλευρές αλλά έχουν τους ακόλουθους αριθμούς στις πλευρές τους: 1, 1, 3, 3, 5, 5. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρετε 3;

Σε αυτό το περίεργο ζάρι ο αριθμός 3 εμφανίζεται δύο φορές, έτσι υπάρχουν 2 ευνοϊκές πιθανότητες, κάνοντας τον αριθμητή να είναι το 2. Εξακολουθούν να υπάρχουν ακόμα έξι πιθανά αποτελέσματα, οπότε ο παρονομαστής είναι ακόμα το 6, κάνοντας την πιθανότητα να είναι 2/6. Μπορούμε και πρέπει να απλουστεύουμε τα κλάσματα πιθανότητας όταν είναι εφικτό, έτσι η απάντηση σε αυτό το πρόβλημα πιθανότητας είναι 1/3 = 33,3%.

Τάβλι !!!

Το άλλο αγαπημένο παιχνίδι του γείτονά μου. Ένα παιχνίδι με δύο ζάρια και συνδυασμούς με πούλια που μετακινούνται. Υπάρχουν διάφοροι συνδυασμοί κινήσεων σε διαφορετικά στάδια του παιχνιδιού, αλλά σε κάποιο σημείο χρειαζόμαστε έναν συγκεκριμένο συνδυασμό για να κερδίσουμε. Και τώρα έρχεται η στιγμή όπου με τα δύο κανονικά ζάρια με 6 πλευρές και ριθμούς από το 1 έως το 6, πρέπει να φέρουμε άθροισμα ζαριάς πάνω από 9. Ποια είναι η πιθανότητα το άθροισμα της ζαριάς να είναι μεγαλύτερο από το 9;

Για να ξεκινήσουμε, ας απλοποιήσουμε τη διαδικασία και να φανταστούμε τα πιθανά αποτελέσματα. Μπορούμε να κάνουμε έναν πίνακα των πιθανών αποτελεσμάτων του αθροίσματος των δύο ζαριών με στήλες και γραμμές από το 1 έως το 6.

Ζάρι 1
Ζάρι 2 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9
6 7 8 9

Όπως βλέπετε, υπάρχουν 36 δυνατοί συνδυασμοί, 6 από τους οποίους είναι μεγαλύτεροι από το 9 στο άθροισμα- οι σκιασμένοι. Έτσι, έχουμε 36 πιθανά αποτελέσματα, 6 από τα οποία είναι ευνοϊκά:

Με τέτοια ποσοστά σίγουρα θα θέλουμε έξτρα τύχη!

Τι έμαθα από αυτούς τους υπολογισμούς; Άρχισα να υπολογίζω την πιθανότητα να με νικήσει ένας αντιπάλος φέρνοντας μερικούς συνδυασμούς. Σίγουρα άλλαξα τον τρόπο που παίζω και άρχισα να κερδίζω. Αποδεικνύεται ότι εκτός από τη γνώση των κανόνων του παιχνιδιού, υπάρχει και μια άλλη πτυχή γνώσης που σας βοηθά να κερδίσετε.

Με αυτό, δεν τελείωσε η κουβέντα μας. Πάμε στα παιχνίδια χαρτιών και τις πιθανότητές τους.

Όπως πάντα, ξεκινήσαμε με τα απλά. Ποια είναι η πιθανότητα να τραβήξετε τυχαία 10 σπαθί από μια τράπουλα 52 χαρτιών;

Πρώτον, είναι σημαντικό να γνωρίζετε τι υπάρχει σε μια τράπουλα.

52 κάρτες (μη συμπεριλαμβανομένων των Τζόκερ) με 26 κόκκινα και 26 μαύρα σε 4 σύμβολα: καρώ (κόκκινα), σπαθιά (μαύρα), κούπες (κόκκινα) και μπαστούνια (μαύρα). Για κάθε σύμβολο έχουμε: Α, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K και 3 χαρτιά με πρόσωπα για κάθε σύμβολο: Ρήγας, Ντάμα, Βαλές (Ο άσσος είναι το νούμερο ένα).

Δεδομένου ότι έχουμε 52 χαρτιά και μόνο ένα από αυτά είναι το 10 σπαθί, η πιθανότητα είναι 1/52 = 1,9%. Πολύ μικρή πιθανότητα, έτσι; Θυμήθηκα τα κανάλια που έδειχναν πόκερ στην τηλεόραση και για πόση ώρα σκέφτονταν μερικοί από τους παίκτες, και συνειδητοποίησα ότι υπολόγιζαν όχι μόνο τις αποδόσεις τους αλλά και εκείνες των αντιπάλων τους (τις οποίες εγώ ως θεατής έβλεπα στην οθόνη, αλλά εκείνοι δεν έβλεπαν) ανάλογα με τα χαρτιά στο τραπέζι. Δίνονταν εκατομμύρια σε χρηματικά έπαθλα.

Τι γίνεται με το τράβηγμα οποιουδήποτε καρώ; Η πιθανότητα τραβήγματος χαρτιού καρώ θα είναι 13/52 αφού υπάρχουν 13 χαρτιά καρώ στην τράπουλα από τα 52 χαρτιά. Απλουστεύοντας το κλάσμα, μιλάμε για το 1/4 = 25%. Έτσι, υπάρχει μια πολύ καλύτερη πιθανότητα να τραβήξει ένα χαρτί καρώ παρά 10 σπαθί.

Ποια είναι η πιθανότητα να τραβήξετε άσσο από μια συνηθισμένη τράπουλα 52 χαρτιών; Το αποτέλεσμα που θέλουμε είναι ένας άσσος, και υπάρχουν 4 άσσοι, έτσι η πιθανότητα είναι 4/52 = 1/13 = 7,7%.

Όπως είπαμε παραπάνω στο κείμενο, μάλλον μιλάμε για πιθανές λύσεις στην κλίμακα του 0 έως 1 ή Αδύνατα και Σίγουρα γεγονότα.

Ας επιστρέψουμε στα κλάσματα και στο γιατί εξετάζουμε μόνο τα κανονικά κλάσματα. Ας δούμε πιο προσεκτικά τις ακραίες περιπτώσεις – το μηδέν και το ένα. Για την πρώτη, η “μετάφραση” λέει ότι αυτό δεν μπορεί να συμβεί (η πιθανότητα να συμβεί είναι 0), η οποία, στην παραπάνω περίπτωση με μια τράπουλα χωρίς τζόκερ, είναι περισσότερο από σαφής επειδή δεν είναι στην τράπουλα ή στη μαθηματική έκφραση είναι, ότι η πιθανότητα είναι 0/52 = 0%. Οποιοδήποτε γεγονός το οποίο είναι αδύνατο έχει πιθανότητα 0.

Τι γίνεται με το 1 από την πλευρά της πιθανότητας; Κάποια πράγματα είναι αδύνατον να μην συμβούν. Σας εκνευρίζουν αυτά τα διπλά αρνητικά; Ας το πούμε αλλιώς… Μερικά πράγματα είναι απολύτως βέβαιο ότι θα συμβούν. Ακολουθεί ένα παράδειγμα. Ποια είναι η πιθανότητα να τραβήξεις είτε ένα κόκκινο είτε ένα μαύρο χαρτί από μια συνηθισμένη τράπουλα 52 χαρτιών; Όλα τα χαρτιά είναι είτε κόκκινα είτε μαύρα, και τα 52. Έτσι, η πιθανότητα είναι 52/52 = 1 = 100%.

Και εκατομμύρια συνδυασμοί μεταξύ 0 και 1 …

Νιώθετε έτοιμος/η να πάτε σε Καζίνο;))))

Αυτές ήταν απλές περιπτώσεις, αλλά μερικές φορές υπάρχουν πιο σύνθετες όπου, εκτός από το ρίξιμο ζαριών με άθροισμα 7, χρειαζόμαστε 5 και 2 για να βγάλουμε το πούλι έξω. Ούτε το 6 και το 1 ούτε το 4 και το 3 κάνουν τη δουλειά μας. Π.χ. πρέπει να εκπληρώσουμε δύο προϋποθέσεις την ίδια στιγμή. Αυτός ο τύπος πιθανότητας ονομάζεται επίσης ΚΑΙ πιθανότητα. Στην άλλη περίπτωση, χρειαζόμαστε 7, ανεξάρτητα από τον συνδυασμό των αριθμών 6 και 1 Η 5 και 2 Η 6 και 3 Η 4.

Οπότε φτάνουμε στον ορισμό των πιθανοτήτων «KAI», όπου το αποτέλεσμα πρέπει να ικανοποιεί ταυτόχρονα και τις δύο (πιθανότατα και περισσότερες) συνθήκες.

Στην περίπτωση πιθανοτήτων “Η” όπου το αποτέλεσμα πρέπει να πληροί μόνο τη μια προϋπόθεση, Ή την άλλη, Ή και τις δύο ταυτόχρονα, δηλ. περιλαμβάνει το αποτέλεσμα “ΚΑΙ”.

Ας δούμε μια πιθανότητα με δύο τρόπους:

Χρειαζόμαστε άθροισμα ζαριών 7 ενώ παίζουμε τάβλι, με τις ζαριές να είναι 2 και 5.

Οι συνδυασμοί είναι 36 και οι πιθανές παραλλαγές είναι μόνο 2

P = 2/36 = 1/18 = 5.5% Πιθανότατα θα χάσετε αυτό το παιχνίδι εκτός αν ο αντίπαλός σας δεν παίξει καλά.

Ποια είναι η πιθανότητα να τραβήξετε χαρτί με κόκκινο σύμβολο και πρόσωπο (Ρήγας, Ντάμα, Βαλές) από μια τράπουλα;

Για αυτή την πιθανότητα, πρέπει να δούμε ποιες κάρτες είναι και κόκκινες και έχουν και πρόσωπο. Υπάρχουν 6: Βαλές κούπα, Ντάμα κούπα, Ρήγας κούπα, Βαλές καρώ, Ντάμα καρώ και Ρήγας καρώ.

ψηλό αλλά πάλι, δύσκολο.

Τώρα ας υπολογίσουμε την πιθανότητα να φέρουμε 7 ανεξάρτητα από τους αριθμούς των ζαριών, με τους ακόλουθους συνδυασμούς: 5 και 2 Η 6 και 1 Η 4 και 3 Η 2 και 5 Η 1 και 6 Η 3 και 4.

6 πιθανοί συνδυασμοί από τους 36.

6/36 = 1/6 = 16.7% 3 φορές πιο πιθανό, και θέμα τύχης επίσης

Ποια είναι η πιθανότητα να τραβήξετε χαρτί με κόκκινο σύμβολο ή με πρόσωπο από μια τράπουλα;

Αυτή τη φορά το χαρτί μπορεί να είναι κόκκινο ή χαρτί με πρόσωπο ή και τα δύο ταυτόχρονα. Υπάρχουν 26 κόκκινα χαρτιά (6 εκ των οποίων είναι και χαρτιά με πρόσωπο). Επιπλέον, υπάρχουν 6 ακόμα χαρτιά με πρόσωπο που δεν είναι κόκκινα: Βαλές σπαθί, Ντάμα σπαθί, Ρήγας σπαθί, Βαλές μπαστούνι, Ντάμα μπαστούνι και Ρήγας μπαστούνι. Συνολικά 26 + 6 = 32 χαρτιά

Προσέξτε να μην προσθέσετε μόνο τον αριθμό των χαρτιών με πρόσωπο (12) με τον αριθμό των χαρτιών με τα κόκκινα σύμβολα (26). Αυτό θα έδινε συνολικά 38 χαρτιά, αλλά θα μετράει δύο φορές τα χαρτιά με κόκκινο σύμβολο και πρόσωπο.

Παρατηρήστε πόσο διαφέρουν αυτές οι δύο πιθανότητες. Μια μικρή λέξη αλλάζει ολόκληρο το πρόβλημα!

Was this article helpful to you? Yes 4 No 1